"10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">보조정리</h5>
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(a) p: odd prime. n^(p-1) + n^(p-2) + … + 1 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 2kp + 1 꼴임을 보여라. (b) 10k+1 꼴의 소수가 무한함을 보여라.
 
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보조정리
 
  
 
p는 홀수인 소수. <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math> 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 <math>2kp + 1</math> 꼴임을 보여라.
 
p는 홀수인 소수. <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math> 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 <math>2kp + 1</math> 꼴임을 보여라.
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한편, q는 <math>(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1</math>의 약수이므로,  <math>n^p-1\equiv 0 \pmod q</math>
 
한편, q는 <math>(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1</math>의 약수이므로,  <math>n^p-1\equiv 0 \pmod q</math>
  
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<math>p\neq q</math>p는 소수이므로 <math>n^k\equiv 1 \pmod q</math> 을 만족시키는 k 중에서 가장 작고, 오일러의 정리에 의해, p는 q-1을 나눈다.
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<math>p\neq q</math>이고 p는 소수이므로 <math>n^k\equiv 1 \pmod q</math> 을 만족시키는 k 중에서 가장 작고, 오일러의 정리에 의해, p는 q-1을 나눈다.
  
 
따라서 <math>q \equiv 1 \pmod p</math>
 
따라서 <math>q \equiv 1 \pmod p</math>
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10k+1 꼴의 소수가 무한하다.
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10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.
  
 
 
 
 
  
 
(증명)
 
(증명)
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10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을
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2010년 3월 23일 (화) 18:58 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

 

보조정리

p는 홀수인 소수. \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\) 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 \(2kp + 1\) 꼴임을 보여라.

 

(증명)

\(p\neq q\)인 q가 \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)의 소인수라 하자.

\(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv (p-1)n+1 \pmod 2\) 이므로, \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)는 언제나 홀수이다.

따라서 \(q \equiv 1 \pmod 2\).

한편, q는 \((n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1\)의 약수이므로,  \(n^p-1\equiv 0 \pmod q\)

\(p\neq q\)이고 p는 소수이므로 \(n^k\equiv 1 \pmod q\) 을 만족시키는 k 중에서 가장 작고, 오일러의 정리에 의해, p는 q-1을 나눈다.

따라서 \(q \equiv 1 \pmod p\)

그러므로 q는 \(2kp + 1\) 꼴이다. ■

 

정리

10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.

 

(증명)

10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을

 

 

 

 

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