"디리클레 베타함수"의 두 판 사이의 차이
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5> | ||
| − | |||
| − | |||
<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math> | <math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math> | ||
| 7번째 줄: | 5번째 줄: | ||
또는 | 또는 | ||
| − | <math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{ | + | <math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math> |
| 14번째 줄: | 12번째 줄: | ||
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">Special values</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">Special values</h5> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| 63번째 줄: | 65번째 줄: | ||
* [[카탈란 상수]]<br> | * [[카탈란 상수]]<br> | ||
* [[코탄젠트]]<br> | * [[코탄젠트]]<br> | ||
| + | * [[감마함수]]<br> | ||
<br> | <br> | ||
2009년 9월 13일 (일) 12:49 판
간단한 소개
\(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}\)
또는
\(\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\)
Special values
\(\beta'(1)\) 의 값
\(\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 을 사용하면,
\(\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)
\(\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)
\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
가 만족시키는 함수방정식
\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)
을 사용하자.
\(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.
한편 Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,
\(\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)
를 얻는다.
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)