"라그랑지의 네 제곱수 정리"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
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*  모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능하다<br>
 
*  모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능하다<br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">자코비 세타함수를 이용한 증명</h5>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">자코비의 네 제곱수 정리</h5>
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* [[자코비 세타함수]]<br>[[자코비 세타함수|]]<math>\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math>, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
 
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* <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 로 두면,<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}</math><br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br> 여기서 <math>r_4(n)</math> 는 <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수<br>
 
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* <math>r_4(1)=8</math><br><math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math><br><math>0^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1</math><br><math>0^2+0^2+(\pm1)^2+0^2=1</math><br><math>0^2+0^2+0^2+(\pm1)^2=1</math><br>
 
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* <math>r_4(2)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1</math><br> ... 으로부터<br><math>4\times {4\choose 2}=24</math><br>
 
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* <math>r_4(3)=32</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=1</math><br>  <br> ... 으로부터<br><math>8\times {4\choose 1}=32</math><br>
 
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*  (정리) [[search?q=%EC%9E%90%EC%BD%94%EB%B9%84%EC%9D%98%20%EB%84%A4%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EC%88%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC&parent id=3188640|자코비의 네제곱수 정리]]<br><math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math><br>
 
  
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* <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수  <math>r_4(n)</math>에 대한 정리<br><math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math><br>
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* [[자코비의 네 제곱수 정리|자코비의 네제곱수 정리]] 항목 참조<br>
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%84%A4%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EC%88%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/네제곱수_정리]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/four_square_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/four_square_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems

2010년 1월 19일 (화) 09:59 판

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간단한 소개
  • 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능하다

 

 

 

 

자코비의 네 제곱수 정리
  • \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수  \(r_4(n)\)에 대한 정리
    \(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)
  • 자코비의 네제곱수 정리 항목 참조


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