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* 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다<br><math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math><br> | * 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다<br><math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math><br> | ||
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* [[푸리에 변환]] 항목 참조<br><math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | * [[푸리에 변환]] 항목 참조<br><math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | ||
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* [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | * [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxekVyZUNKR2RGY0U/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxekVyZUNKR2RGY0U/edit | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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2012년 10월 31일 (수) 13:48 판
==이 항목의 스프링노트 원문주소
==개요
- 푸리에 변환의 변형
- 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환
- 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside 이다
- operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구
==정의
- 함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함
\(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\)
==성질
- 함수 \(f\)에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다
\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)\)
(정리)
\(f\)가 유계이고, \(t\geq 0\)에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자.
\(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 정의된 함수 \(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\) 가 \(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 해석함수로 확장되면,
\(\int_0^{\infty} f(t) \,dt\)이 존재하고, \(F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt\)가 성립한다.
==예
\(\left(\frac{t^ne^t}{n!}\right)'=\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right+\frac{t^ne^t}{n!}\right\) 로부터 \(\mathcal{L}\left\{\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right\} = (s-1)\cdot\mathcal{L} \left\{ \frac{t^ne^t}{n!}\right\}\)
\(\mathcal{L}\left\{e^t\right\} = \frac{1}{s-1}\)
\(\mathcal{L}\left\{t e^t\right\} = \frac{1}{(s-1)^2}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^2 e^t}{2!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^3}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^3 e^t}{3!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^4}\)
...
==상수계수 미분방정식에의 응용
- \(y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t\)
- 양변에 라플라스 변환을 취하면,
\(s^2 Y(s)+Y(s)-2 (s Y(s)-1)-s+1=\frac{1}{s-1}\), 여기서 \(Y(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}\). - \(Y(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{2}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^3}\)
- \(y(t)=e^t-2t e^t+\frac{t^2}{2}e^t\) 는 주어진 미분방정식의 해가 된다
==멜린변환과의 관계
- 푸리에 변환 항목 참조
\(\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\) - 멜린변환에서 \(x=e^{-t}\)로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다
\(\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt\)
==역사
- 오일러
- 라플라스
- 헤비사이드
- 수학사연표
==메모
==관련된 항목들
수학용어번역
==매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxekVyZUNKR2RGY0U/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
==사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Stieltjes_transform
- http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
==관련논문
==관련도서