로그 함수

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• 로그함수

 

 

개요

• 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
  
• 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
  
• 지수함수의 역함수이다
  

 

 

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문

• \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
  100000 의 로그 = 5
  10000000 의 로그 = 7
  
• 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
  가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
  따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)
  

 

 

로그함수

• 양수 a>0에 대하여, \(x =a^y\) 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의
  \(y = \log_a (x)\)
  
• a를 밑으로 하는 로그
  
• 성질
  \(\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)\)
  \(\log_a (1)=0\)
  

 

 

 

넓이와 로그

• 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
   \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
  
• 성질
  \(L(1)=0\)
  \(L(xy)=L(x)+L(y)\)
  

(증명)

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*)  \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립  ■

 

 

 

 

 

복소로그함수

• 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
  

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

• 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
  
• 예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해
  

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

• 복소로그함수 항목에서 자세히 다룸

 

 

응용

• 빛의 밝기 lux
• 소리의 크기 dB
• 산성알칼리성 pH
• 별의 밝기
• 지진의 세기
• 엔트로피
• 그랜드피아노
• 팬플루트
• 하프 등에서 그래프

 

 

역사

• 1614년 네이피어가 로그를 고안
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=logarithm

• 수학사연표
  

 

 

 

 

메모

• http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448

 

 

많이 나오는 질문과 답변

• 네이버 지식인
  
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=로그함수
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/

• http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
• http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
    

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 자연상수 e
  
• 벤포드의 법칙
  

 

 

 

관련도서 및 추천도서

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  • http://books.google.com/books?q=
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관련기사

• [신성택 칼럼제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미]
  
  • 뉴스한국, 2009-05-27 
• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=로그함수
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