복소로그함수
개요
- 로그 함수의 복소수로의 확장
복소로그함수
복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의된다
<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.
예를 들자면, <math>z=1=re^{i\cdot 0}</math>에 대해서는
<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math>
<math>\log(1)</math>의 값이 무한대로 많은 것이다. 뭔가 이상하다?
중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠 때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되어야 한다는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!
학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다.
그러나 이러한 방식으로는 이 함수를 어떻게 이해하는 것이 정말로 올바른 것인지 제대로 답할 수 없다.
문제의 원인을 잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원 위에 놓여 나선처럼 놓인 직선이었다.
이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. 그것은 '공역'을 제한하는 것이 아니라 바로 '정의역'을 바꾸는 것이다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.
복소로그함수 <math>\log(z)</math>는 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수가 아니라, 다음과 같이 생긴 곡면에 정의된 함수로 보아야 한다.
단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다.
위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 복소로그함수의 올바른 정의역으로 보아야 한다.
1 이라는 복소수를 이 곡면의 한 점으로 볼 것이 아니라, 그냥 1이 있다면, 1에서 시작해서 원점 주변을 한바퀴 돌고 돌아온 또다른 1, 두바퀴 돌때 생기는 1, ... 이렇게 본래의 복소평면에 있는 1에 대응되는 수많은 새로운 1이라는 점들이 이 곡면에 놓여 있는 것이다. 이 곡면을 복소로그함수 <math>\log(z)</math>의 리만곡면이라고 부른다.
복소로그함수가 사는 곳은 복소평면이 아니라 바로 이렇게 무한히 펼쳐지는 곡면이다.
로그함수와 맴돌이
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