"르장드르 카이 함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 1일 (목) 12:48 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==
르장드르 카이 함수

개요

정의== \(\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}\) \(\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]\)
Dilogarithm 함수

polylogarithm 함수
\(\chi_2(z) =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}\) (증명) \(\chi_2(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_2(z) - \operatorname{Li}_2(-z)\right]=-\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (1-t)}\over t} dt +\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (1+t)}\over t} dt =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}\) ■
성질== \(\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})\) (증명) \(\frac{d}{dz}[\chi_2(\frac{1-z}{1+z})] = \frac{1}{2}{{\log (\frac{1+\frac{1-z}{1+z}}{1-\frac{1-z}{1+z}})(\frac{1+z}{1-z})(\frac{1-z}{1+z})'=\frac{\log z}{1-z^2}\) 양변을 적분하면, 즉 \(\int_0^z \cdots {dz}\) 을 씌우면, \(\chi_2(\frac{1-z}{1+z})-\chi_2(1) =\int_0^z \frac{\log z}{1-z^2}\,dz=\frac{1}{2}\log z \log (\frac{1-z}{1+z})-\frac{1}{2}\int_0^z \log (\frac{1+z}{1-z})\frac{dz}{z}\) \(\chi_2(z) =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}\)와 \(\chi_2(1) = \frac{\pi^2}{8}\)를 이용하면, \(\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})\) 를 얻는다. ♥
dilogarithm 항등식과의 관계==
dilogarithm 함수의 곱셈공식
\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\)

\(\nu=2\)인 경우의 르장드르 카이 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다
\(\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]=\operatorname{Li}_2(z) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(z^2)\)

special value의 계산으로부터 dilogarithm 항등식 을 얻을 수 있다

special values== \(\chi_2(i) = iG\), \(G\)는 카탈란 상수 \(\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}\) \(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\) \(\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\) \(\chi_2(-1) = -\frac{\pi^2}{8}\) \(\chi_2(1) = \frac{\pi^2}{8}\)
special value의 계산== \(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}\)
Dilogarithm 함수에서 얻어진 다음 두 결과를 이용
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}\)
위에서 증명한 다음 성질을 이용
\(\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})\)
\(z=\sqrt2 -1\) 로 두면, 원하는 결과를 얻는다.
(* 또는 Dilogarithm 함수에서 얻은 다음 결과를 이용
\(2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}-1)-\frac{\pi^2}{4}=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\) *)

\(\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)
위에서 증명한 다음 성질을 이용
\(\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})\)
\(z=\frac{\sqrt5 -1}{2}\) 로 두면, \(\frac{1-z}{1+z}=z^3=\sqrt{5}-2\), \(z^{-3}=\sqrt{5}+2\)
\(\chi_2(\sqrt{5}-2)+\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log (\frac{\sqrt5 -1}{2})\log (\sqrt{5}+2)\)
앞에서 얻은 \(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}\)를 이용하자.
\(\chi_2(\sqrt{5}-2)=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log (\frac{\sqrt5 -1}{2})\log (\sqrt{5}+2)-\frac{\pi^2}{12}+\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}\)
\(=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{2}\log^2(\frac{\sqrt5 -1}{2})+\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}\)
\(=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)

재미있는 사실

디리클레 베타함수
\(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\)

\(\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

\(2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)
이 결과는 다음 정적분과 같음.
\(\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

(증명)
[오늘의계산080810]
\(\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)=-\mbox{Li}_2(1-\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{1}{2} \ln^2(\sqrt{2})\)
\(=-[-\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})+\frac{\pi^2}{6}-\ln\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(1-\frac{1}{\sqrt{2}})]-\frac{1}{8} \ln^2 2\)
\(=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}+\ln\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(1-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8} \ln^2 2\)
\(=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\ln{2}\ln({\sqrt{2}}-1)+\frac{1}{8} \ln^2 2\)

\(\mbox{Li}_2(\sqrt 2-1)=\mbox{Li}_2(1-(2-\sqrt 2))\)
\(=-\mbox{Li}_2(1-\frac{1}{2-\sqrt 2})-\frac{1}{2}\ln^2(2-\sqrt{2})\)
\(=-\mbox{Li}_2(1-\frac{2+\sqrt{2}}{2})-\frac{1}{2}\ln^2(2-\sqrt{2})\)
\(=-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\ln {2} + \ln(\sqrt{2}-1}))^2\)
\(=-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8}\ln^2 {2}-\frac{1}{2}\ln 2\ln(\sqrt{2}-1})-\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})\)

\(\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)=\)
\(=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\ln{2}\ln({\sqrt{2}}-1)+\frac{1}{8} \ln^2 2-(-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8}\ln^2 {2}-\frac{1}{2}\ln 2\ln(\sqrt{2}-1})-\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1}))\)
\(=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})+\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})\)
\(=\frac{1}{2}\mbox{Li}_2\frac{1}{2}-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2 +\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})\)
\(=\frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\ln^2 2)-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})\)
\(=-\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})\)

따라서,
\(2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}-1)-\frac{\pi^2}{4}=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

메모== \(\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx=\frac{\pi^2}{4}\) \(\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

역사

수학사연표

관련된 다른 주제들

Dilogarithm

적분쇼

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

황금비

수학용어번역==
http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=

대한수학회 수학 학술 용어집

http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=

대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_chi_function

http://en.wikipedia.org/wiki/

http://mathworld.wolfram.com/LegendresChi-Function.html

http://www.wolframalpha.com/input/?i=

NIST Digital Library of Mathematical Functions

관련논문

Some Identities Involving the Legendre's Chi-Function

Junesang Choi, Communications of the Korean Mathematical Society ( Vol.22 NO.2 / 2007 )

Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments

Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski, Mathematics of Computation archive Volume 68 , Issue 228 (October 1999)

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

관련도서 및 추천도서==
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Mathematical Moments from the AMS

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-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
 * [[르장드르 카이 함수]]
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-==개요</h5>
+==개요==
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정의</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정의==
 <math>\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}</math>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">성질</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">성질==
 <math>\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})</math>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">dilogarithm 항등식과의 관계</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">dilogarithm 항등식과의 관계==
 * [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]의 곱셈공식<br><math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math><br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special values</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special values==
 <math>\chi_2(i) = iG</math>, <math>G</math>는 [[카탈란 상수]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special value의 계산</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special value의 계산==
 <math>\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}</math>
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-==재미있는 사실</h5>
+==재미있는 사실==
 * [[디리클레 베타함수]]<br><math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math><br>
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-<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모==
 <math>\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx=\frac{\pi^2}{4}</math>
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-==역사</h5>
+==역사==
 * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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-==관련된 다른 주제들</h5>
+==관련된 다른 주제들==
 * [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
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-==사전 형태의 자료</h5>
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 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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 * [http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=378689 Some Identities Involving the Legendre's Chi-Function]<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서==
 *  도서내검색<br>
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-==관련기사</h5>
+==관련기사==
 *  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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-==블로그</h5>
+==블로그==
 * '''[오늘의계산080810]'''[http://sos440.tistory.com/83 오늘의 계산 12]<br>

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