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<h5>해석적연속(analytic continuation)</h5> | <h5>해석적연속(analytic continuation)</h5> | ||
| − | 자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음. | + | * 자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음. |
<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math> | <math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math> | ||
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<math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt</math> | <math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt</math> | ||
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<math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt</math> | <math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt</math> | ||
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* <math>\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)</math> | * <math>\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)</math> | ||
* <math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> | * <math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> | ||
| + | * 이 함수방정식은 아래 식의 우변을 통해 알 수 있음.<br><math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt</math><br> | ||
2009년 4월 25일 (토) 18:02 판
간단한 소개
- 리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
- 리만 가설
해석적연속(analytic continuation)
- 자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해 주어짐.
\(2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt\)
더 정확하게 쓰자면,
\(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt\)
함수방정식
- \(\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
- \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
- 이 함수방정식은 아래 식의 우변을 통해 알 수 있음.
\(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt\)
하위페이지
리만제타함수의 값
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards
위키링크
참고할만한 자료
- Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
- 피타고라스의 창