마친(Machin)의 공식

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• 마친(Machin)의 공식

 

 

개요

• 아크탄젠트 함수를 통한 원주율(파이,π) 표현
  \(4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{1}{4}\pi\)
  
• 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
• 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨

 

 

배각공식을 통한 증명

\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,

\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)

\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)

이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

 

이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)

 

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)■

 

 

복소수의 곱셈을 통한 증명

\((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\) 임을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다.

\(4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\)

따라서

\(4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\). ■

 

 

일반화

• 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=machin+formula
• 수학사연표
•  

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 삼각함수

 

 

관련된 항목들

• 파이
  
  • 파이값의 계산

 

 

사전형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
• http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula

 

 

관련논문

• A Geometric Proof of Machin's Formula
  
  • Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/