미분기하학

간단한 요약

• 국소적으로 유클리드 공간과 같은 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
• 일명 비유클리드기하학.
• sphere, Euclidean plane, upper half-plane 세가지 상수 곡률 곡면을 이해하는 것이 중요함.
   
  

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 다변수미적분학
• 상미분방정식
• 선형대수학
  
  • 내적공간
  • 대칭행렬의 대각화

 

다루는 대상

• 곡선
• 곡면

 

중요한 개념 및 정리

• 메트릭이 주어진 곡면
  
  • first fundamental form
• 측지선
• 평행이동
• 가우스 곡률
• 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)
• 가우스-보네 정리

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리

 

다른 과목과의 관련성

• 대수적 위상수학
  
  • 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
    
    • g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
    • 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
• 복소함수론
  
  • 단위원 또는 upper half-plane 의 group of conformal automorphisms = group of isometries
  • Uniformization theorem
• 추상대수학
  
  • 군론 - discrete subgroups of isometry group
  • 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
• 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
  
  • 다변수미적분학과 미분기하학을 일반적으로 확장하기 위한 자연스러운 언어

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 미분다양체론(differentiable manifolds)
  
  • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
  • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
• 리만기하학(Riemannian geometry)
  
  • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
• 리군과 Symmetric spaces의 분류

 

 

 

추천도서 및 보조교재

• Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
  
  • S. Stahl
    
• Geometry of Surfaces
  
  • John Stillwell
•  

 

참고할만한 자료

• Geometry and the Foucault Pendulum
  
  • John Oprea
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
• Kleinian Transformation Geometry
  
  • Richard S. Millman
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
• The Geometry of Connections
  
  • R. S. Millman and Ann K. Stehney
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
• From Triangles to Manifolds
  
  • Shing-Shen Chern
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
• How Hyperbolic Geometry Became Respectable
  
  • Abe Shenitzer
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470