5차방정식과 근의 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 31일 (일) 20:23 판
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개요

 

 

증명의 개요
  • We start from the field of symmetric functions.
  • Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  • The proof is consisted of two steps.
  • radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  • the behavior of radicals under permutations

 

 

 

 

radical 체확장
  • 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in F\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 radical 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

 

 

정리 0

소수 p 에 대하여 \(F\)의 radical 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho \in R\) 과  \(v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

 

오차방정식
  • 방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어졌다고 가정하자.
  • 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

 

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)

 

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

예)

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

 

정리 2. (theorem of natural irrationalities)

 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

 

 

정리 3.

\(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시  \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.

 

(증명)

\(\chi\) 를 다음과 같이 정의된 character 라 하자.

\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)

\(\tau(u)=\chi(\tau)u\) 

 

\(\tau\sigma=(12453)\)

\(\tau\sigma^2=(14532)\)

이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\tau(u)=\chi(\tau)u\) 이다.  ■

 

 

 

정리 3.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 radical 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

 

 

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

 \(F\)의 radical 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다.

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

 

■

 

아벨정리의 증명.

 

 

 

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

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링크

 

 

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