아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 11월 5일 (목) 17:11 판
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간단한 소개
  • \(k>1\)인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.
    \(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)
    만약 이 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는  \(G_k=0\)가 됨.
     \(m+n\tau\)와  \(-m-n\tau\) 가 서로 상쇄
  •  

 

예

\(G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]\)

\(G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]\)

 

 

모듈라 성질

\(G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)\)

 

 

푸리에 전개의 유도

모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개가 필요하며 이는 다음과 같이 주어짐

\(G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)

\(c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}\), \(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\)

 

 

(증명)

\(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)인 경우

\( \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)

\(=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}+\frac{1}{(m-n\tau )^{2k}}\)

\(=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)

여기서 코탄젠트 항목에서 얻어진 다음 항등식을 이용하면, 푸리에 급수를 계산할 수 있다.

\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

여기서 미분을 반복하면, 

\(-\frac{1}{\tau^2}-\sum_{m\neq0}\frac{1}{(\tau+m)^2 }=-\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^2 }= -(2\pi i)^2 \sum_{r=1}^{\infty}re^{2\pi i r \tau}\)

\(2\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^3 }= -(2\pi i)^3 \sum_{r=1}^{\infty}r^2e^{2\pi i r \tau}\)

\(-3! \sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^4 }= -(2\pi i)^4 \sum_{r=1}^{\infty}r^3e^{2\pi i r \tau}\)

 

 

정규 아이젠슈타인급수
  • 상수항이 1이 되도록, 상수를 곱해서 얻어짐

\(E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)

\(E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\)

\(E_6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}\)

 

 

많이 사용되는 다른 표현

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

 

 

weight 2 아이젠슈타인 급수
  • \(k=1\)인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.
    \(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)
    만약 이 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는  \(G_k=0\)가 됨.
     \(m+n\tau\)와  \(-m-n\tau\) 가 서로 상쇄

 

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