원환면 (torus)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 20일 (토) 17:38 판
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개요

  • genus 가 1인 컴팩트 유향곡면
  • 복소함수론에서는 타원함수 를 위상적으로 원환면인 리만곡면에서 정의된 함수로 이해한다



매개화

  • 매개화
  • \(X(u,v)=\{\cos (u) (a+b \cos (v)),\sin (u) (a+b \cos (v)),b \sin (v)\}\)
    \(0<u<2\pi\), \(0<v<2\pi\)
  • \(X_u=\{\sin (u) (-(a+b \cos (v))),\cos (u) (a+b \cos (v)),0\}\)
    \(X_v=\{-b \cos (u) \sin (v),-b \sin (u) \sin (v),b \cos (v)\}\)
  • \(N=\{b \cos (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (v) (a+b \cos (v))\}\)
  • 왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다
    원환면 (torus)1.gif -> 원환면 (torus)2.gif





제1기본형식

  • \(E=(a+b \cos (v))^2\)
  • \(F=0\)
  • \(G=b^2\)



크리스토펠 기호

  • 크리스토펠 기호 항목 참조
    \(\Gamma^1_{11}=0\)
    \(\Gamma^1_{12}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\)
    \(\Gamma^1_{21}=-\frac{b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\)
    \(\Gamma^1_{22}=0\)
    \(\Gamma^2_{11}=\frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\)
    \(\Gamma^2_{12}=0\)
    \(\Gamma^2_{21}=0\)
    \(\Gamma^2_{22}=0\)



측지선

  • 측지선 이 만족시키는 미분방정식
    \(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
  • 풀어쓰면,
    \(\frac{d^2 u}{dt^2} -\frac{2b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
    \(\frac{d^2 v}{dt^2} + \frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)



가우스곡률

  • 가우스곡률 항목 참조
    \(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)=\frac{\cos (v)}{a b+b^2 \cos (v)}\)



역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

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