크리스토펠 기호

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 4월 11일 (일) 07:39 판
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개요

 

 

  • 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\ I\)를 정의한다
    \(\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\)
  • 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
    \(\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\)
    즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)

 

 

매개화된 곡면의 경우
  • 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)
    \(X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\)
    \(X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\)
    \(X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\)
    \(X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\)
  • 제1기본형식을 이용한 표현
    \(\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^2_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^2_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}\)
  • \(F=0\) 인 경우
    \(\Gamma^1_{11}=\frac{E_u}{2E}\)
    \(\Gamma^2_{11}=\frac{-E_v}{2G}\)
    \(\Gamma^1_{12}=\frac{E_v}{2E}\)
    \(\Gamma^2_{12}=\frac{G_u}{2G}\)
    \(\Gamma^1_{22}=\frac{-G_u}{2E}\)
    \(\Gamma^2_{22}=\frac{G_v}{2G}\)

 

리만 곡률 텐서
  • covariant tensor
    \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\)
  •  

 

 

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