프로베니우스 원소
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2020년 11월 12일 (목) 01:50 판
개요
- 정수계수 다항식이 mod p 로 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있음
- class field theory 에서 아틴 사상을 정의하는데 사용
정의
- \(K\) : 수체
- \(K/\mathbb{Q}\) : 갈루아 체확장
- \(p\) : unramified prime
- \(\mathfrak{p}\mid p\)
- \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_ {\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다
성질
- \(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_ {\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
- \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
- \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소 \(\sigma_{p}=\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 를 정의함
원분체에서의 프로베니우스 원소
- \(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.
- \(p \nmid n\) 이면, p는 unramified
- \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p\)
- 프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리
이차체확장에서의 프로베니우스 원소
- \(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
- p는 unramified
- \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{1,-1\}\) 로 두면, \(\sigma_{p}=\left(\tfrac{d}{p}\right)\)
역사
메모
- Lefschetz fixed point theorem
- http://modular.math.washington.edu/books/ant/ant/node61.html
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=