구면(sphere)

수학노트
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개요

 

 

매개화
  • 3차원상의 반지름이 R인 구면 \( x^2+y^2+z^2 = R^2\)
  • 매개화
    \(X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\)
    \(0<u<2\pi\), \(0<v<\pi\)
  • \(X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)\)
    \(X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\)
    \(N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\)
    \(X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\)
    \(X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\)
    \(X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\)

 

 

제1기본형식
  • \(E=R^2\sin^2 v\)
  • \(F=0\)
  • \(G=R^2\)

 

 

크리스토펠 기호
  • 크리스토펠 기호 항목 참조
    \(\Gamma^1_{11}=0\)
    \(\Gamma^1_{12}=\cot v\)
    \(\Gamma^1_{21}=\cot v\)
    \(\Gamma^1_{22}=0\)
    \(\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v\)
    \(\Gamma^2_{12}=0\)
    \(\Gamma^2_{21}=0\)
    \(\Gamma^2_{22}=0\)

 

 

측지선
  • 측지선 이 만족시키는 미분방정식
    \(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
  • 풀어쓰면, 
    \(\frac{d^2 u}{dt^2} + 2\Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
    \(\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)

 

 

가우스곡률
  • 가우스곡률 항목 참조
    \(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
  • 반지름 R인 구면의 가우스곡률
    \(K=\frac{1}{R^2}\)

 

 

라플라시안
  • 위의 좌표계에서 \(u=\phi,v=\theta\) 로 생각하자.
  • 라플라시안
    \(\Delta f = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
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