라마누잔의 class invariants

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 24일 (토) 13:44 판
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간단한 소개
  • 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
  • class field theory에서 중요한 역할을 함
    \(G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\frac{\sqrt{-n}}{2})\)
    \(g_n:=(\frac{k'(i\sqrt{n})^2}{2k(i\sqrt{n})})^{1/12}=2^{-1/4}\)

 

 

 

\(g_{58}^2=\frac{\sqrt{29}+5}{2}\)

 

 

정의

\(q=e^{2\pi i \tau}\)

  • 자코비 세타함수[[자코비 세타함수|]]\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)
    \(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)
    \(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)
  • 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
     
    [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|]]
    \(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)
    \(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

 

  • 베버(Weber) 모듈라 함수
    [[베버(Weber) 모듈라 함수|]]
    \(f(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)
    \(f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)
    \(f_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

 

 

 

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