론스키안 (Wronskian)

수학노트
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개요

  • 여러 함수에 대해 정의되는 어떤 행렬식
  • 미분방정식의 해가 선형독립임을 보일 때 사용되기도 함

 

 

예

  • 두 함수 f,g 에 대하여 론스키안은
    \(\left( \begin{array}{cc} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{array} \right)\) 의 행렬식 \(f(x) g'(x)-g(x) f'(x)\) 가 된다
  • 함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)의 론스키안은 \(e^{t (\alpha +\beta )} (-\alpha +\beta )\) 이다
  • 이계 미분방정식
    \(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\)
    의 두 해, \(y_1,y_2\)의 론스키안 \(W\) 는 미분방정식 \(W'=-pW\)의 해가 된다
  • 세 함수 f,g,h에 대하여 론스키안은 다음 행렬의 행렬식으로 정의된다
    \(\left( \begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{array} \right)\)

 

 

역사

 

 

 

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