자연수의 분할수(integer partitions)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 16:07 판 (찾아 바꾸기 – “관련도서 및 추천도서” 문자열을 “관련도서” 문자열로)
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개요

  • 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
  • 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
  • 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
  • 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5  일곱가지 방법
  • 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
    • p(3)=3, p(5)=7

 

 

수가 작은 경우의 분할수

n  p(n)

0    1
1    1
2    2
3    3
4    5
5    7
6    11
7    15
8    22
9    30
10    42
11    56
12    77
13    101
14    135
15    176
16    231
17    297
18    385
19    490
20    627

 

 

생성함수

  • 분할수의 생성함수는 무한곱으로 표현가능
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)

 

 

분할수의 점화식

  • 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨
    \(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)

 

(증명)

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자.

\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)

이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \) 의 역수이므로, 둘을 곱하여

\((\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\) 

을 얻는다. 이로부터

\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)

를 얻을 수 있다.  ■

  • 예
    • \(p(10)=42\)
    • \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)

 

 

분할수가 만족시키는 합동식

 

 

분할수의 근사공식

\(p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\)

 

 

 

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