클리포드 대수와 스피너

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 8월 26일 (일) 05:04 판
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개요

 

 

 

클리포드 대수
  • 이차형식이 주어진 벡터공간 \((V,Q)\)
  • Q : non-degenerate quadratic form 으로부터 symmetric bilinear form \(\langle x,y \rangle\) 을 얻는다
  • 클리포드 대수: V의 원소들로 생성되는 결합대수로 다음 관계를 만족시킨다
    • \(v^2=Q(v)\)
    • \(vw+wv=2\langle w,v\rangle\)
  • exterior algebra (그라스만 대수) 의 양자화로 이해하기도 한다

 

 

 

스피너
  • 클리포드 대수의 벡터공간 \(W\) 에서의 표현(representation)을 생각하자
  • W의 원소를 스피너라 부른다

 

 

파울리 스피너
  • 실수체 위에 정의된 8차원 클리포드 대수
  • 파울리 행렬 로부터 구성할 수 있다
  • 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3})\)와 동형이다
  • SO(3)의 사영표현을 얻을 수 있다

 

 

디랙 스피너
  • 16차원 실대수
  • 4차원 민코프스키 공간 \(E_{3,1}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3,1})\) 와 동형
  • \(\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}\), \(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0\), \(\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1\)
  • 4차원 표현이 존재한다
  • 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다
  • 로렌츠 군의 universal covering \(H=SL(2,\mathbb{C})\) 의 표현
  • 디랙 행렬

 

 

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  • Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. American Journal of Physics 49: 152. doi:10.1119/1.12548.
  • Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. Celestial Mechanics 32 (3월): 193-207. doi:10.1007/BF01236599.
  • Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. arXiv:math-ph/0509040 (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040.

 

 

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