프로베니우스 원소

수학노트

http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 18일 (수) 20:35 판

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개요

정수계수 다항식이 mod p 로 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있음
class field theory 에서 아틴 사상을 정의하는데 사용

정의

K : 수체
K/Q : 갈루아 체확장
p : unramified prime
\(\mathfrak{p}\mid p\)
\(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_{\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다
성질
- \(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
- \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
- \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소

원분체에서의 프로베니우스 원소

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.
\(p\nmid n\) 이면, p는 unramified
\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p\)
프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

이차체확장에서의 프로베니우스 원소

\(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
p

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