근의 공식과 라그랑지 resolvent

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 16:54 판
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개요

 

 

 

3차 방정식의 근의 공식

  • 방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
  • \(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
  • \(u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\), \(v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\) 라 두면, 다음이 성립한다
    \(u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\)
    \(uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\)
  • 따라서 u,v는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
  • \(x+ y+z=0\), \(x+\omega y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}\), \(x+\omega^2 y+\omega z=\sqrt[3]{v}\) 이므로, x,y,z 를 \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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