라플라스 변환
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 28일 (토) 09:24 판
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개요
- 푸리에 변환의 변형
- 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환
- 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside 이다
- operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구
정의
- 함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함
\(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\)
성질
- 함수 \(f\)에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다
\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)\)
(정리)
\(f\)가 유계이고, \(t\geq 0\)에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자.
\(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 정의된 함수 \(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\) 가 \(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 해석함수로 확장되면,
\(\int_0^{\infty} f(t) \,dt\)이 존재하고, \(F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt\)가 성립한다.
상수계수 미분방정식에의 응용
- \(y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t\)
멜린변환과의 관계
- 푸리에 변환 항목 참조
\(\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\) - 멜린변환에서 \(x=e^{-t}\)로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다
\(\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Stieltjes_transform
- http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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