미분형식과 맥스웰 방정식

\(x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \)
\( j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\)
\( \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \)

포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
\((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)

전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)
\(F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\)
[[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|]]
전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
\(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)

\(\star dx dy =-dzdt\)
\(\star dy dz =-dxdt\)
\(\star dz dx =-dydt\)
\(\star dx dt =dydz\)
\(\star dy dt =dzdx\)
\(\star dz dt=dxdy\)
전자기 텐서의 dual
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\)

미분형식으로 표현하면,
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)

맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
\(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \))

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