삼각치환

수학노트
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간단한 소개

\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정

 

\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
    \(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)

 

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  •  
    다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
    \(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)
     

 

\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분

  • \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분

  • \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분

  • \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분

  • \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

 

 

재미있는 사실

 

 

역사

 

 

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