삼각함수

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삼각함수

개요

중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
주기성을 가진다
많은 공식들이 성립한다

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

중요한 개념 및 정리

주기함수
덧셈공식
삼각함수의 그래프
- 빨강은 사인(Sine), 파랑은 코사인(Cosine), 초록은 탄젠트(Tangent)
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공식

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)

덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

배각공식

\(\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)

삼각함수의 값

삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

베르누이 수 참조

쌍곡함수

\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\)

재미있는 문제

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

삼각함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

중요한 개념 및 정리

공식

덧셈공식

배각공식

반각공식

삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

쌍곡함수

재미있는 문제

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

관련있는 다른 과목

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재미있는 사실

역사

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