삼각함수의 유리수 값

 

 

개요

 

• 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
• 다음이 성립한다
  
  • \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
  • \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
  • \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

 

 

증명

서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로,  \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial)  \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

따라서 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

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  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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