삼각함수의 유리수 값

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 4월 19일 (목) 20:15 판
둘러보기로 가기 검색하러 가기
이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

  • 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
  • 다음이 성립한다
    • \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

 

 

증명

서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로,  \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial)  \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

따라서  \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.

\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각

\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와

\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=삼각함수의_유리수_값&oldid=12108"