수열

간단한 요약

• 숫자를 나열한 것. 보통 <일정한 규칙을 가지고> 라는 조건이 붙는 경우가 많음.
• 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있음.
• 항이 유한 개 있으면 유한수열, 항이 무한히 많으면 무한수열.
• 보통 번째 수를  과 같이 첨자(index)를 사용해서 표시함. 즉, 는 수열. a 대신 다른 알파벳을 써도 무방함.
• 영어로는 Sequence 라고 한다. 이 단어를 <수열> 이라고 번역하는 바람에, 실수열, 함수열, 행렬열, 벡터열, … 이 모두 수열에 속하게 되었다.

 

 

중요한 개념 및 정리

• 일반항과 점화식
  
  • 둘 다 수열을 나타내는 방법.
  • 일반항 : 번째 수가 무엇인지 알려 주는 식.
    
    • ex) 의 일반항을 가지는 수열 :
  • 점화식 : 항 사이의 관계식을 써서 수열을 나타낸 식.
    
    • ex) 점화식 을 만족하고 첫번째 항이  인 수열 :
    • 점화식에서 일반항을 찾아내는 것은 중요한 문제임.
  • 번째 수를 알아 내기 위해서는 초항부터 (n-1) 번째 항까지의 모든 수를 다 알아야 한다는 단점이 있지만, 컴퓨터로 큰 항을 계산할 때는 점화식이 더 편리할 때가 많다. 컴퓨터는 정수 계산이 실수 계산보다 훨씬 빠르고, 프로그래밍 과정에서 점화식은 메모리를 거의 차지하지 않도록 할 수 있다. ( 의 과정에서)
     
    
• 부분합과 급수
   
  
• 등차수열
   
  
• 등비수열
   
  

• 시그마 기호 
  
  • 합을 나타내기 위한 기호. 이 기호를 사용하면 … 등의 표현을 쓰지 않아도 됨.
  • 이다. 여기서  는 다른 문자여도 무방함. 즉
  • , (시그마 기호의 선형성)
  • 예
    
    • : 등차수열의 부분합
    • : 등비수열의 부분합
  • 에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.
    
    • 예
      
      • (전혀 알 필요 없는 식이지만, 알고 싶은 학생을 위하여)
  • 망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)
    
    • 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
      
      • ex)
      • ex)
         
        
• 수열의 극한 : 수렴과 발산.
  
  • 무한수열의 항이 어떤 수 에 무한히 가까이 접근해 갈 때, <수열이 에 수렴한다> 라고 말한다.
    
    • ex) 수열 은 로 수렴한다.
    • ex) 수열 은 으로 수렴한다.
    • 이라고 쓰기도 한다.  는 <limit> 에서 따온 기호이고, '리미트' 라고 읽으면 된다. 를 또박또박 예쁘게 쓸 필요는 없다. (사실 거의 아무도 그렇게 안 쓴다. 예쁘게 날려 쓰는(!) 편이 보기에도 좋다. 그래도 처음에는 예쁘게 써 볼것.)
  • 무한수열이 수렴하지 않을 때 <수열이 발산한다> 라고 말한다.
    
    • 수열의 항이 무한히 커져 갈 때 <수열이 (무한대)로 발산한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 무한대로 발산한다.
      • ex) 수열 는 (음의 무한대)로 발산한다.
      • <무한대> 라는 개념은, <어떤 실수보다 큰 수가 존재해서 그 수를 무한대라 한다> 는 것이 아니라, <한없이 커져 가는 상태> 라고 생각해야 한다.
    • 발산하는 수열의 항이 나 로 발산하지 않는 경우 <수열이 진동한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 진동한다.
      • ex) 수열 는 진동한다.
  • 등차수열은 공차 일 때만 수렴하고, 등차수열의 부분합은 모든 항이 일 때만 수렴한다.
  • 공차 인 등비수열이 수렴할 조건은 . ( 이면 진동하고, 이면 초항의 부호에 따라 로 발산. 수렴하는 경우 수렴값은 0 이다.
  • 공차 인 등비수열의 부분합이 수렴할 조건은 . (1이 제외되는 것에 주의, 왜 그럴까?) 수렴한다면 그 수렴값은 이다.
     
    
• 여러 가지 수열
  
  • 계차수열 : 어떤 수열의 각 항의 차로 이루어진 수열.
    
    • ex) 수열 의 계차수열은 가 된다.
    • 수열 의 계차수열이 인 경우
        이다. 여기에서 모든 항을 더하면
      가 되어, 계차수열의 일반항을 아는 경우 원래 수열의 일반항을 알 수 있게 된다.
      
  • 군수열 : 적절히 그룹을 지어 규칙을 찾아낼 수 있는 수열.
     
    
• 점화식 푸는 법 :

이 문서의 본문은 점화식 입니다.