등비수열
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개요
- <math>1, 2, 4, 8, 16, \cdots </math>와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열
- 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다
등비수열
- 일반항 : 처음 <math>a_1 </math>항 와 곱해 주는 수 <math>r </math>이 이루는 등비수열 : <math>a_n=a_1\times r^{n-1}</math>
- 점화식 : <math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=r</math>. 이때 <math>r</math>은 <공비> 라고 부른다.
- 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
- 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.
등비수열의 합
- <math>a_n=a \times r^{n-1}</math>이라 하자
- 다음이 성립한다
- <math>
\sum_{k=1}^n a_k=\frac{a \left(1-r^n\right)}{1-r} </math>
역사
메모
- <math>s</math> : 자연수, <math>m</math> : 음이 아닌 정수
- <math>J=\{(j_1,\cdots,j_s)\in \mathbb{Z}^s|j_1+\cdots+j_s=m, j_i\geq 0\}</math>.
- <math>
\sum_{j\in J} \xi_1^{j_1} \cdots \xi_s^{j_s} = \sum_{i=1}^s \frac{\xi_i^m}{\prod_{k=1,(k \ne i)}^s (1-\xi_k/\xi_i)}, </math>
관련된 항목들