역함수를 이용한 치환적분
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개요
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- 역함수를 이용한 치환적분법
\(\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\)
여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)
문제
\(\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\)
\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\)
따라서,
\(\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\)
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