오일러-라그랑지 방정식
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요== \(J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx\) 를 최대 또는 최소로 만들기 위한 조건 \(0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}\)
고전물리의 최소작용원칙== \(\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t\) \({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\)
예1. 입자의 운동==
- 위치가 q인 곳에서의 위치에너지가 \(V(q)\)로 주어지는 경우
- 라그랑지안
\(L(q,\dot{q})=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)\)
- 작용
\(\mathcal{S} = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot{q}) \,dt\)
- 운동방정식
- 오일러-라그랑지 방정식 \({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\) 을 적용하면, \(\frac{dV}{dq}+m\ddot{q}=0\)를 얻는다.
\(L(q,\dot{q})=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)\)
\(\mathcal{S} = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot{q}) \,dt\)
- 오일러-라그랑지 방정식 \({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\) 을 적용하면, \(\frac{dV}{dq}+m\ddot{q}=0\)를 얻는다.