오일러-라그랑지 방정식

수학노트
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개요

<math>J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx</math> 를 최대 또는 최소로 만들기 위한 조건

<math>0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}</math>



고전물리의 최소작용원칙

<math>\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t</math>

<math>{\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0</math>



예1. 입자의 운동

  • 위치가 q인 곳에서의 위치에너지가 <math>V(q)</math>로 주어지는 경우
  • 라그랑지안:<math>L(q,\dot{q})=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)</math>
  • 작용:<math>\mathcal{S} = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot{q}) \,dt</math>
  • 운동방정식
    • 오일러-라그랑지 방정식 <math>{\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0</math> 을 적용하면, <math>\frac{dV}{dq}+m\ddot{q}=0</math>를 얻는다.



다변수인 경우로의 확장

<math> I[f] = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, \dots , x_n, f, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\mathbf{x}\,\! ~;~~ f_{x_i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i}</math>

<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!</math>





역사



메모

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