왓슨 변환(Watson transform)

이 항목의 수학노트 원문주소

개요

유수정리(residue theorem) 의 응용
단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
\(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
여기서 \(\sum\) 는 D에 있는 정수점 위의 합

복소함수 코탄젠트의 성질

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계, \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값

정수에서의 리만제타함수의 값 항목에서 가져옴

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다.

\(g(z)=1/z^4\)과 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz=-\pi^{4}/45+\sum_{n\leq R} g(n)\)

이때 반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 적분은 0으로 수렴한다.

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면, \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는 \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다.

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

왓슨 변환(Watson transform)

목차

이 항목의 수학노트 원문주소

개요

복소함수 코탄젠트의 성질

응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값

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