왓슨 변환(Watson transform)
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개요
- 유수정리(residue theorem) 의 응용
- 정수점에서의 함수의 합을 복소함수의 적분을 통하여 표현
- 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
\(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합 - g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
- g 가 meromorphic 함수이며, \(z=a_1,\cdots, a_m\) 에서 pole 을 가지는 경우 (\(a_1,\cdots, a_m\) 는 모두 정수가 아님을 가정)
\(\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{n=N} g(n)=-\sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(a_k; g(z) \pi \cot (\pi z)\)
복소함수 코탄젠트의 유용한 성질
- 코탄젠트 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조
응용 1
정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자. 다음 등식이 성립한다.
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}\)
(증명)
\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\)
여기서 우변에 더해진 항은\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 에서 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}\)유수의 합이다.
반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
따라서
\(-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}=0\) 를 얻는다. ■
- 정수에서의 리만제타함수의 값 에 응용할 수 있다
\(\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}\)
여기서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\) 를 얻는다.
응용2
\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\)
(증명)
\(g(z)=\frac{1}{z^2+z+1}\)
\(\pi \cot (\pi z)g(z)=\frac{\pi \cot (\pi z)}{z^2+z+1}\) 의 pole과 residue 를 생각하자.
\(z=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\) 에서의 residue 는 \(\frac{\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\) 가 된다.
왓슨변환을 적용하면,
\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\) 을 얻는다. ■
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxM2NkMjUzMzUtOGI1My00ZTM5LWI0MGYtNzQ2ZDc1NWU3NDhk&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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