정이십면체와 모듈라 연분수

이 항목의 수학노트 원문주소

• 정이십면체와 모듈라 연분수

 

 

개요

• 클라인의 오차방정식과 정이십면체 이론과 관계
• \(\Gamma(5)\) 에 대한 모듈라 함수론
• 로저스-라마누잔 연분수 가 등장

 

 

정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량

• 정이십면체 뫼비우스 변환군
• vertex points
  
  • \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
• face points
  
  • \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
• edge points
  
  • \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
• syzygy relation
  \(1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\) 또는 \(1728V^5-E^2-F^3=0\)
  

 

 

로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli

• edge points
  \(r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\)는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다. 
  \(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)
  
• face points
  \(r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\)  는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다. 
  \(r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\)
  
• vertex points
  \(5\not | d\) 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다. 
  
• 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다