초기하급수(Hypergeometric series)

수학노트
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개요
  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  • 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
  • q-analogue 에 대해서는 

 

 

정의
  • 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
    \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
  • 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다
    \(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)
    \(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
  • 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
    \(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)
  • 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다
    \(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)
  • 여기서  Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다
    \(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)

 

 

오일러-가우스 초기하급수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

 

예
  • 지수함수
    \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
    \(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
    \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
  • 이항급수
    \((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)\)
  • \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
  • 타원적분
    \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
    \(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

well-poised

 

 

k-balanced

 

 

Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

special values

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

 

 

재미있는 사실
  • Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

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