타원함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 2일 (목) 20:16 판
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간단한 소개
  • 이중주기를 갖는 복소해석함수.
  • 주기성을 갖는 삼각함수는 원 위에 정의된 함수로 이해할 수 있듯이, 타원함수는 토러스 위에 정의된 함수로 생각할 수 있음.
  • 자코비 세타함수 를 통해서도 이론을 구성할 수 있음.

 

 

바이어슈트라스의 타원함수
  • 2차원격자를 이루는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여 
    \(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
    는 타원함수가 됨.

 

 

바이어슈트라스의 타원함수

 

 

 

삼각함수와 타원함수
  • 타원함수는 두 세타함수의 비(quotient)로 얻어짐.
  • 이러한 관점에서 \(\sin z\),  \(\cos z\) 를 타원함수에 비유할 수 있고, \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\) 를 타원함수에 비유할 수 있음.
  • \(\sin (z+\pi)=-\sin z\), \(\cos (z+\pi)=-\cos z\) 는 \(\chi : \mathhbb{Z} \to \{\pm1\}\) 로 주어지는 modular form
    • 타원함수의 무한곱표현과 유사한  \(\sin z\),  \(\cos z\) 의 무한곱표현도 있음.
  • 둘의 비를 취함으로써, \(\tan (z+\pi)=\tan z\) 주기함수를 얻는다.

 

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\(\sin (z+\pi)=-\sin z\)

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