트위터 속 수학문제

http://twitter.com/Jihye_Moon/status/25091147425

 

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\(x+y=u, xy=v \)로 두자.

\(x+y+z=4\)에서 \(z=4-u\)

\(xy+yz+zx=2\) 에서 \(xy+z(x+y)=2\). 따라서 \(v+u(4-u)=2\).

이로부터 \(v=u^2-4u+2\)를 얻는다.

실수 \(x,y\)를 해로 갖는 이차방정식\((t-x)(t-y)= t^2-ut+v=0\)을 생각하자. 방정식의 두 해가 실수일 조건은 판별식이 0이상일 조건 즉, \(u^2-4v\geq 0\)와 동치이다.

\(v=u^2-4u+2\) 이므로, \(u^2-4v=u^2-4(u^2-4u+2)\geq 0\).

따라서, \(-3u^2+16u-8\geq 0\) 즉 \(3u^2-16u+8\leq 0\).

부등식의 해를  \(\alpha \leq u \leq \beta\)라 하면, \(z= 4-u\)의 최대값과 최소값의 합은 \(8-(\alpha+\beta)=8-16/3=8/3\)가 된다.