트위터 속 수학문제

삼각형

<math>x+y=u, xy=v </math>로 두자.

<math>xy+yz+zx=2</math> 에서 <math>xy+z(x+y)=2</math>. 따라서 <math>v+u(4-u)=2</math>.

이로부터 <math>v=u^2-4u+2</math>를 얻는다.

실수 <math>x,y</math>를 해로 갖는 이차방정식<math>(t-x)(t-y)= t^2-ut+v=0</math>을 생각하자. 방정식의 두 해가 실수일 조건은 판별식이 0이상일 조건 즉, <math>u^2-4v\geq 0</math>와 동치이다.

<math>v=u^2-4u+2</math> 이므로, <math>u^2-4v=u^2-4(u^2-4u+2)\geq 0</math>.

따라서, <math>-3u^2+16u-8\geq 0</math> 즉 <math>3u^2-16u+8\leq 0</math>.

부등식의 해를 <math>\alpha \leq u \leq \beta</math>라 하면, <math>z= 4-u</math>의 최대값과 최소값의 합은 <math>8-(\alpha+\beta)=8-16/3=8/3</math>가 된다.

y와 z를 x의 함수로 표현해 버린다.