체비셰프 다항식

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• 체비셰프 다항식

 

 

제1종 체비세프 다항식

• \(n \geq 0 \), 다음과 같은 점화식에 의해여, \(T_n(x)\)을 정의
• \(T_0(x) & = 1 \)
• \(T_1(x) & = x\)
• \(T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \)

 

 

(정리)

\(n \geq 1\)일 때, \(T_n(x)^2=1-x^2+T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)\)

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 \(T_0(x) & = 1\), \(T_1(x) & = x\), \(T_2(x) & = 2x^2-1\) 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

\(T_{n+1}T_{n-1}=(2xT_{n}-T_{n-1})(T_{n-1})=2xT_{n}T_{n-1}-T_{n-1}^2\)

\(=2xT_{n}T_{n-1}-(1-x^2+T_{n}T_{n-2})=T_{n}(2xT_{n-1}-T_{n-2})-1+x^2=T_{n}^2-1+x^2\) ■

 

 

삼각함수와의 관계

•  \(T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\)
• 삼각함수

 

 

생성함수

• 생성함수\[\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}=1 + x t + (-1 + 2 x^2) t^2 + (-3 x + 4 x^3) t^3 + \cdots\]
  

 

 

직교성

\(\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}\)

 

 

 

제1종 체비셰프 다항식 목록

• 매쓰매티카 명령어 Do[Print["T_",n,"[x]=",ChebyshevT[n,x]],{n,0,20}]
  

T_0[x]=1
T_1[x]=x
T_2[x]=-1+2 x^2
T_3[x]=-3 x+4 x^3
T_4[x]=1-8 x^2+8 x^4
T_5[x]=5 x-20 x^3+16 x^5
T_6[x]=-1+18 x^2-48 x^4+32 x^6
T_7[x]=-7 x+56 x^3-112 x^5+64 x^7
T_8[x]=1-32 x^2+160 x^4-256 x^6+128 x^8
T_9[x]=9 x-120 x^3+432 x^5-576 x^7+256 x^9
T_10[x]=-1+50 x^2-400 x^4+1120 x^6-1280 x^8+512 x^10
T_11[x]=-11 x+220 x^3-1232 x^5+2816 x^7-2816 x^9+1024 x^11
T_12[x]=1-72 x^2+840 x^4-3584 x^6+6912 x^8-6144 x^10+2048 x^12
T_13[x]=13 x-364 x^3+2912 x^5-9984 x^7+16640 x^9-13312 x^11+4096 x^13
T_14[x]=-1+98 x^2-1568 x^4+9408 x^6-26880 x^8+39424 x^10-28672 x^12+8192 x^14
T_15[x]=-15 x+560 x^3-6048 x^5+28800 x^7-70400 x^9+92160 x^11-61440 x^13+16384 x^15
T_16[x]=1-128 x^2+2688 x^4-21504 x^6+84480 x^8-180224 x^10+212992 x^12-131072 x^14+32768 x^16
T_17[x]=17 x-816 x^3+11424 x^5-71808 x^7+239360 x^9-452608 x^11+487424 x^13-278528 x^15+65536 x^17
T_18[x]=-1+162 x^2-4320 x^4+44352 x^6-228096 x^8+658944 x^10-1118208 x^12+1105920 x^14-589824 x^16+131072 x^18
T_19[x]=-19 x+1140 x^3-20064 x^5+160512 x^7-695552 x^9+1770496 x^11-2723840 x^13+2490368 x^15-1245184 x^17+262144 x^19
T_20[x]=1-200 x^2+6600 x^4-84480 x^6+549120 x^8-2050048 x^10+4659200 x^12-6553600 x^14+5570560 x^16-2621440 x^18+524288 x^20

 

제2종 체비세프 다항식

• \(n \geq 0 \), 다음과 같은 점화식에 의해여, \(U_n(x)\)을 정의
• \(U_0(x) & = 1\)
• \(U_1(x) & = 2x\)
• \(U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)\)

 

(정리)

\(n \geq 1\)일 때, \(U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)\)

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 \(U_0(x) & = 1\), \(U_1(x) & = 2x\), \(U_2(x) & = 4x^2-1\) 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

\(U_{n+1}U_{n-1}=(2xU_{n}-U_{n-1})(U_{n-1})=2xU_{n}U_{n-1}-U_{n-1}^2\)

\(=2xU_{n}U_{n-1}-(1+U_{n}U_{n-2})=U_{n}(2xU_{n-1}-U_{n-2})-1=U_{n}^2-1\) ■

 

 

삼각함수와의 관계

•  \(U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}\)
• 삼각함수

 

 

제2종 체비셰프 다항식의 목록

• 매쓰매티카 명령어 Do[Print["U_", n, "[x]=", ChebyshevU[n, x]], {n, 0, 20}]
  

U_0[x]=1
U_1[x]=2 x
U_2[x]=-1+4 x^2
U_3[x]=-4 x+8 x^3
U_4[x]=1-12 x^2+16 x^4
U_5[x]=6 x-32 x^3+32 x^5
U_6[x]=-1+24 x^2-80 x^4+64 x^6
U_7[x]=-8 x+80 x^3-192 x^5+128 x^7
U_8[x]=1-40 x^2+240 x^4-448 x^6+256 x^8
U_9[x]=10 x-160 x^3+672 x^5-1024 x^7+512 x^9
U_10[x]=-1+60 x^2-560 x^4+1792 x^6-2304 x^8+1024 x^10
U_11[x]=-12 x+280 x^3-1792 x^5+4608 x^7-5120 x^9+2048 x^11
U_12[x]=1-84 x^2+1120 x^4-5376 x^6+11520 x^8-11264 x^10+4096 x^12
U_13[x]=14 x-448 x^3+4032 x^5-15360 x^7+28160 x^9-24576 x^11+8192 x^13
U_14[x]=-1+112 x^2-2016 x^4+13440 x^6-42240 x^8+67584 x^10-53248 x^12+16384 x^14
U_15[x]=-16 x+672 x^3-8064 x^5+42240 x^7-112640 x^9+159744 x^11-114688 x^13+32768 x^15
U_16[x]=1-144 x^2+3360 x^4-29568 x^6+126720 x^8-292864 x^10+372736 x^12-245760 x^14+65536 x^16
U_17[x]=18 x-960 x^3+14784 x^5-101376 x^7+366080 x^9-745472 x^11+860160 x^13-524288 x^15+131072 x^17
U_18[x]=-1+180 x^2-5280 x^4+59136 x^6-329472 x^8+1025024 x^10-1863680 x^12+1966080 x^14-1114112 x^16+262144 x^18
U_19[x]=-20 x+1320 x^3-25344 x^5+219648 x^7-1025024 x^9+2795520 x^11-4587520 x^13+4456448 x^15-2359296 x^17+524288 x^19
U_20[x]=1-220 x^2+7920 x^4-109824 x^6+768768 x^8-3075072 x^10+7454720 x^12-11141120 x^14+10027008 x^16-4980736 x^18+1048576 x^20

 

 

삼각함수의 배각공식

• 삼각함수의 배각공식 표 항목 참조
  

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 정다각형의 대각선의 길이

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxODY2NjY3NmItZDNmMy00Y2YyLWI1MDQtYWRmMTViNDgwMjQ0&sort=name&layout=list&num=50
• http://functions.wolfram.com/Polynomials/ChebyshevU/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=Chebyshev+polynomials
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=Chebyshev

• http://functions.wolfram.com/
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/체비쇼프_다항식
• http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

 

 

관련논문

• Counting on Chebyshev Polynomials
• Aharonov, Dov, Alan Beardon, and Kathy Driver. 2005. “Fibonacci, Chebyshev, and Orthogonal Polynomials”. The American Mathematical Monthly 112 (7): 612-630. doi:10.2307/30037546.
  
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

• http://dx.doi.org/10.2307/30037546