정이면체군 (dihedral group)

개요

정n각형의 자기동형군
크기가 2n이며 정이면체군 \(D_n\)이라 부른다
생성원과 관계식\[\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\]
semidirect product \(D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}\) 로 쓸 수 있다
콕세터군으로서의 생성원과 관계식\[\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle\]

벡터 \((\cos (\theta ),\sin (\theta ))\)를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사 변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다

\[s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]

가령 \(\theta=0\)인 경우는 y-축에 대한 반사변환이 되며, 다음 행렬로 표현된다\[\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\]
두 반사 변환 \(s_{\theta_1},s_{\theta_2}\)의 합성 \(s_{\theta_1}s_{\theta_2}\)은 다음과 같은 회전변환이 된다\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)\]

정이면체군 \(D_n\)은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다
다음 두 반사변환은 생성원이 된다\[x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]\[y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\]
x와 y의 합성으로부터, order가 n인 다음 회전변환을 얻을 수 있다 (콕세터 원소(Coxeter element) )\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]