반사 변환

개요

• n 차원 공간의 초평면에 대한 반사

벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도

• 법벡터를 $\alpha\neq 0$로 갖는 초평면 $H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}$을 생각하자
• 벡터 $x$를 $H_{\alpha,c}$에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 $x'$라 하자
• 임의의 점 $x_0\in H_{\alpha,c}$를 선택하면, 벡터 $x-x_0$의 $H_{\alpha,c}$의 $H_{\alpha,c}$에 수직한 성분은

$$ \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha $$ 로 주어진다

• 따라서

$$ x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha $$

• $\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}$로 두면, 다음과 같이 표현된다

$$ x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} $$

특수한 경우

• $c=0$이고 $\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)$ 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다

\[\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]