르장드르 타원곡선

개요

• 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함

$$y^2=x(x-1)(x-t) \quad t \in \mathbb{C}$$

• 이 때 타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

$$ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} $$

• 이들은 다음의 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족한다

$$ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 $$

• 오일러-가우스 초기하함수2F1로 표현된다

$$ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) $$

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$$ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 $$

관련된 항목들

• 맴돌이군과 미분방정식
• 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

수학용어번역

• the Legendre family of elliptic curves
• family - 대한수학회 수학용어집

에세이

• Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.