원분체 (cyclotomic field)

개요

크로네커-베버 정리
cyclotomic units
class field theory
Iwasawa theory

기호

\(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
\(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)

갈루아군

(정리)

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

(증명)

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로, \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

유한생성 아벨군의 기본정리

원분체의 데데킨트 제타함수

\(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]
제타함수의 분해\[\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\] 로부터 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 를 얻을 수 있다
자세한 내용은 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조

디리클레 class number 공식과의 관계

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

class number

\(K = \mathbb Q(\zeta_n)\) 의 class number \(h_K\)
\(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
\(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)
\(h_K^{-}\)를 relative class number라 한다

메모

Barry Mazur How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields? Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.
http://arxiv.org/abs/1202.5777

역사

수학사 연표

원분체 (cyclotomic field)

목차

개요

기호

갈루아군

원분체의 데데킨트 제타함수

디리클레 class number 공식과의 관계

class number

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