르장드르 타원곡선

개요

• 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함

$$y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}$$

• 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
• 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
• 'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제

피카르-푸크스 미분방정식

• 타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

$$ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} $$

• 이들은 다음의 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족한다

$$ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 $$

• 오일러-가우스 초기하함수2F1로 표현된다

$$ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) $$

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$$ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 $$

메모

• http://www.math.columbia.edu/~masdeu/files/notes/FallSeminar.pdf
• https://www.math.lsu.edu/~hoffman/tex/talks/taiwan/arithPF.pdf

관련된 항목들

• 맴돌이군과 미분방정식
• 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

수학용어번역

• the Legendre family of elliptic curves
• family - 대한수학회 수학용어집

에세이

• Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.