Quantized universal enveloping algebra

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 27일 (금) 16:35 판
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개요

 

 

Cartan datum
  • Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
  • \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
    • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
  • \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
  • \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
  • \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
  • \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
  • \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)}=a_{ji}\}\) : simple roots

 

 

 

 

 

정수의 q-analogue
  • 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의
    \([n]_{q_i} =\frac{q_{i}^{n}-q_{i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \)
    \([0]_{q_i} =1\)
    \([n]_{q_i}!=[n]_{q_i}[n]_{q_i}\cdots [n]_{q_i}\)
    \({m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}}\)
  • 극한 \(q \to 1\)

 

 

quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)
  • 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
  •  
  • 세르 관계식
    • \(q^0=1\)
    • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
    • \(e_if_j-f_je_i=\delta_{i,j}\frac{q^{h_is_i}-q^{-h_is_i}}{q_i-q_i^{-1}}\)
    •  
    • \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
    • \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\) (\(i\neq j\))
      \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0\) (\(i\neq j\))

 

 

역사

 

 

 

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