전자기학의 라그랑지안

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 1월 29일 (수) 17:29 판
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하전입자에 대한 라그랑지안

  • 전기장 $\mathbf{E}=-\nabla \phi$
  • 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
  • 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안

\[L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}\]

  • 켤레운동량

\[p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}\]

$$ \dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\ F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j} $$ \[m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}\] 여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$

  • $F_{12}=B_{3}$, $F_{23}=B_{1}$, $F_{31}=B_{2}$
  • 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다

$$ ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1} $$

  • 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다

\[\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]


전자기장에 대한 라그랑지안

상호작용이 없는 경우

  • $j$와 $\rho$가 0인 경우
  • 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜

  • 작용

\[S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x\]

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)\] 여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장

  • 운동방정식

$$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 $$

상호작용이 있는 경우

  • $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
  • 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$

  • 작용

$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$

  • 운동방정식

$$ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t} $$


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 참고자료


리뷰, 에세이, 강의노트

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