로그 함수

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 14:26 판 (찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로)
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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
  • 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
  • 지수함수의 역함수이다

 

 

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문

  • \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
    100000 의 로그 = 5
    10000000 의 로그 = 7
  • 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
    가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
    따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)

 

 

로그함수

  • 양수 a>0에 대하여, \(x =a^y\) 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의
    \(y = \log_a (x)\)
  • 이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
  • 성질
    \(\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)\)
    \(\log_a (1)=0\)

 

 

넓이와 로그

  • 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
     \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
  • 성질
    \(L(1)=0\)
    \(L(xy)=L(x)+L(y)\)

(증명)

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*)  \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립  ■

 

 

자연로그

  • 급수 \(|z|<1\) 일 때,
    \(-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots\)

 

 

복소로그함수

  • 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

  • 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
  • 예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

 

 

응용

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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