로저스-라마누잔 항등식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 31일 (수) 14:24 판 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
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==개요

 

 

로저스-라마누잔 항등식

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

 \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)

 

 

세타함수 표현과 모듈라 성질
  • 세타함수를 통한 표현
  • \(G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}\)
    \(H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}\)
  • 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
    \(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
    \(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \)
  • 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
    \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)

 

 

cusp에서의 변화
  • \(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,
    \(H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
    \(G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)
  • [McIntosh1995] 참조
  • 이로부터 다음을 알 수 있다
    \(t\to 0\) 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 두면
    \(\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\)

 

 

로저스-라마누잔 연분수
  • 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다
    \(\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)
  • 로저스-라마누잔 연분수  항목에서 다루기로 함

 

 

 

==재미있는 사실

 

 

==관련된 항목들

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

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==관련도서 및 추천도서

 

 

==관련논문

 

 

==관련기사

 

 

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